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Geometry ExplorerExplorador de geometría
Drag the yellow points and watch the numbers change. Each picture shows one idea from geometry or trigonometry: what happens to the other angles when you change one, and how the sides of a triangle are tied to its angles.
Arrastra los puntos amarillos y observa cómo cambian los números. Cada figura muestra una idea de geometría o trigonometría: qué les pasa a los demás ángulos cuando cambias uno, y cómo los lados de un triángulo dependen de sus ángulos.
Pick a picture below. You can also click a yellow point and move it with the arrow keys (hold Shift for small steps). Nothing is saved or sent anywhere.
Elige una figura abajo. También puedes hacer clic en un punto amarillo y moverlo con las flechas del teclado (mantén Mayús para pasos pequeños). No se guarda ni se envía nada.
What to noticeQué observar
When two straight lines cross, they make four angles. Angles across from each other (vertical angles) are always equal. Angles next to each other share a side and together make a straight line, so they add up to 180° — they are supplementary. Turn either line: as one pair of angles grows, the other pair shrinks by exactly the same amount.
Cuando dos rectas se cruzan, forman cuatro ángulos. Los ángulos que quedan uno frente al otro (ángulos opuestos por el vértice) siempre son iguales. Los ángulos vecinos comparten un lado y juntos forman una línea recta, así que suman 180°: son suplementarios. Gira cualquiera de las rectas: cuando un par de ángulos crece, el otro par se achica exactamente lo mismo.
Things to TryCosas para probar
- Make all four angles the same size. What is each one? What do we call two lines that meet like this?
- Make ∠1 as small as you can. What happens to ∠2? Can you make ∠1 and ∠2 both bigger than 90°?
- Turn one line all the way around. Does the rule “vertical angles are equal” ever break?
- Haz que los cuatro ángulos midan lo mismo. ¿Cuánto mide cada uno? ¿Cómo se llaman dos rectas que se cruzan así?
- Haz que el ∠1 sea lo más pequeño posible. ¿Qué le pasa al ∠2? ¿Puedes hacer que el ∠1 y el ∠2 midan los dos más de 90°?
- Da una vuelta completa a una de las rectas. ¿Deja de cumplirse alguna vez la regla «los ángulos opuestos por el vértice son iguales»?
What to noticeQué observar
A line that crosses two other lines is called a transversal. When the two lines are parallel, the eight angles come in only two sizes: every angle is either x or 180° − x. Angles in the same position at each crossing (corresponding angles) are equal, and so are alternate interior angles. Same-side interior angles add up to 180°. Un-tick “keep the lines parallel” and tilt the bottom line to see which rules depend on the lines being parallel.
Una recta que cruza otras dos se llama transversal (o secante). Cuando las dos rectas son paralelas, los ocho ángulos solo tienen dos tamaños: cada ángulo mide x o 180° − x. Los ángulos que ocupan la misma posición en cada cruce (ángulos correspondientes) son iguales, y también lo son los ángulos alternos internos. Los ángulos conjugados internos (del mismo lado) suman 180°. Desmarca «mantener las rectas paralelas» e inclina la recta de abajo para ver qué reglas dependen de que las rectas sean paralelas.
Things to TryCosas para probar
- Slide the two points so the transversal is steep, then nearly flat. Which angles get bigger? Which get smaller?
- Pick each relationship in the Highlight menu and check it against the numbers. Which pairs are equal? Which add up to 180°?
- Un-tick “keep the lines parallel” and tilt the bottom line. Which rules still work, and which ones break? (Hint: vertical angles are at one crossing only.)
- Mueve los dos puntos para que la transversal quede muy inclinada y luego casi horizontal. ¿Qué ángulos crecen? ¿Cuáles se achican?
- Elige cada relación en el menú Resaltar y compárala con los números. ¿Qué pares son iguales? ¿Cuáles suman 180°?
- Desmarca «mantener las rectas paralelas» e inclina la recta de abajo. ¿Qué reglas siguen funcionando y cuáles fallan? (Pista: los ángulos opuestos por el vértice están en un solo cruce.)
What to noticeQué observar
The three angles of any triangle add up to 180°. Drag a corner: when one angle grows, the other two must shrink to make room. The longest side is always across from the largest angle, and the shortest side is across from the smallest. Each side has the same color as the angle opposite it. Tick “show sine, cosine, tangent” to see the trig ratios for each angle: they depend only on the angle, not on how big the triangle is.
Los tres ángulos de cualquier triángulo suman 180°. Arrastra una esquina: cuando un ángulo crece, los otros dos tienen que achicarse para hacerle lugar. El lado más largo siempre queda frente al ángulo más grande, y el más corto frente al más pequeño. Cada lado tiene el mismo color que el ángulo opuesto. Marca «mostrar seno, coseno y tangente» para ver las razones trigonométricas de cada ángulo: dependen solo del ángulo, no del tamaño del triángulo.
Things to TryCosas para probar
- Make an angle of exactly 90°. Which side is the longest now? What happens to the other two angles?
- Try to make all three angles equal. What are the side lengths?
- Can you make a triangle with two angles bigger than 90°? Why or why not?
- Drag a corner until the triangle is almost flat. What happens to the angles? And to the sides?
- With the trig ratios showing, drag a corner straight away from the opposite side and watch the sine of the opposite angle. Then make the whole triangle bigger without changing its shape (move one corner at a time to keep the angles close). Do the ratios change?
- Forma un ángulo de exactamente 90°. ¿Cuál es ahora el lado más largo? ¿Qué pasa con los otros dos ángulos?
- Intenta que los tres ángulos sean iguales. ¿Cuánto miden los lados?
- ¿Puedes hacer un triángulo con dos ángulos mayores de 90°? ¿Por qué sí o por qué no?
- Arrastra una esquina hasta que el triángulo quede casi plano. ¿Qué pasa con los ángulos? ¿Y con los lados?
- Con las razones trigonométricas a la vista, aleja una esquina del lado opuesto en línea recta y observa el seno del ángulo opuesto. Luego agranda el triángulo sin cambiar su forma (mueve una esquina a la vez para que los ángulos casi no cambien). ¿Cambian las razones?
What to noticeQué observar
In a right triangle, the longest side (across from the right angle) is the hypotenuse. The other two sides are named from the angle you are looking at: opposite is across from it, adjacent is next to it. The sine, cosine, and tangent of the angle are just ratios of those side lengths (SOH-CAH-TOA). Because the two sharp angles add up to 90° (complementary), the sine of one is the cosine of the other. The Pythagorean theorem ties the three sides together.
En un triángulo rectángulo, el lado más largo (frente al ángulo recto) es la hipotenusa. Los otros dos lados (los catetos) se nombran según el ángulo que estés mirando: el opuesto está enfrente de él y el adyacente está junto a él. El seno, el coseno y la tangente del ángulo son simplemente razones entre esas longitudes (SOH-CAH-TOA). Como los dos ángulos agudos suman 90° (son complementarios), el seno de uno es el coseno del otro. El teorema de Pitágoras relaciona los tres lados.
Things to TryCosas para probar
- Set the legs to 3 and 4. What is the hypotenuse? Now try 6 and 8, then 5 and 12.
- Make the two legs the same length. What are the two sharp angles? What is tan of each one?
- Make the triangle tall and thin. What happens to sin A? To tan A? Can sin or cos ever be bigger than 1? Can tan?
- Switch between ∠A and ∠B. Compare sin A with cos B.
- Pon los catetos en 3 y 4. ¿Cuánto mide la hipotenusa? Prueba ahora con 6 y 8, y después con 5 y 12.
- Haz que los dos catetos midan lo mismo. ¿Cuánto miden los dos ángulos agudos? ¿Cuánto vale la tangente de cada uno?
- Haz el triángulo alto y delgado. ¿Qué pasa con sen A? ¿Y con tan A? ¿Pueden el seno o el coseno ser mayores que 1? ¿Y la tangente?
- Cambia entre ∠A y ∠B. Compara sen A con cos B.
What to noticeQué observar
On a circle with radius 1 (the unit circle), the point at angle θ sits at (cos θ, sin θ). So cosine is how far right the point is, and sine is how far up. Both stay between −1 and 1. Tangent is sin ÷ cos: it is also the height where the line through the point meets the vertical line on the right (a tangent line to the circle, which is where the name comes from). Angles can also be measured in radians: a full turn is 2π.
En un círculo de radio 1 (el círculo unitario), el punto que está en el ángulo θ tiene coordenadas (cos θ, sen θ). Así que el coseno es cuánto está a la derecha el punto, y el seno es cuánto está arriba. Los dos quedan siempre entre −1 y 1. La tangente es sen ÷ cos: también es la altura a la que la recta que pasa por el punto corta la línea vertical de la derecha (una recta tangente al círculo, de ahí el nombre). Los ángulos también se pueden medir en radianes: una vuelta completa es 2π.
Things to TryCosas para probar
- Find the angles where sin is 0, where cos is 0, and where they are equal.
- Watch tan as you get close to 90°. Why does it disappear at exactly 90°?
- Compare 30° and 150°, then 30° and 210°. Which of sin, cos, tan change sign?
- Un-tick the snapping and go slowly around the circle. Describe how sin changes from 0° to 360° in one sentence.
- Encuentra los ángulos donde sen vale 0, donde cos vale 0 y donde los dos son iguales.
- Observa tan mientras te acercas a 90°. ¿Por qué desaparece justo en 90°?
- Compara 30° con 150°, y luego 30° con 210°. ¿Cuáles de sen, cos y tan cambian de signo?
- Desmarca el ajuste y recorre el círculo despacio. Describe en una sola oración cómo cambia sen de 0° a 360°.
What to noticeQué observar
An inscribed angle has its corner on the circle; a central angle has its corner at the center. When both open onto the same arc, the inscribed angle is always exactly half the central angle. So every inscribed angle on that arc is the same size: drag P around the circle and the angle does not change. When A and B are the two ends of a diameter, the arc is a half circle and the inscribed angle is 90°. Move Q to the other side of the chord AB and it opens onto the other part of the circle, so ∠APB and ∠AQB add up to 180°.
Un ángulo inscrito tiene su vértice sobre el círculo; un ángulo central tiene su vértice en el centro. Cuando los dos se abren sobre el mismo arco, el ángulo inscrito mide siempre exactamente la mitad del ángulo central. Por eso todos los ángulos inscritos sobre ese arco miden lo mismo: arrastra P por el círculo y el ángulo no cambia. Cuando A y B son los dos extremos de un diámetro, el arco es medio círculo y el ángulo inscrito mide 90°. Mueve Q al otro lado de la cuerda AB y se abrirá sobre la otra parte del círculo, así que ∠APB y ∠AQB suman 180°.
Things to TryCosas para probar
- Drag P along the circle without crossing A or B. Does ∠APB change?
- Put A and B straight across from each other (a diameter). What is ∠APB? Does it matter where P is?
- Make the arc from A to B tiny, then huge. What is the biggest the inscribed angle can get?
- Move Q to the other side of the chord AB. Compare ∠APB and ∠AQB.
- Arrastra P por el círculo sin cruzar A ni B. ¿Cambia el ∠APB?
- Pon A y B justo uno frente al otro (un diámetro). ¿Cuánto mide el ∠APB? ¿Importa dónde esté P?
- Haz el arco de A a B muy pequeño y luego enorme. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener el ángulo inscrito?
- Mueve Q al otro lado de la cuerda AB. Compara el ∠APB con el ∠AQB.
What to noticeQué observar
The Pythagorean theorem says that in a right triangle, a² + b² = c². Here you can see what that means: a² is literally the area of the square built on side a. Drag the legs and watch: the two smaller squares together always have exactly the same area as the square on the hypotenuse. Count the unit squares when the legs are whole numbers. It only works for right triangles; the right angle is what makes the areas match.
El teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo, a² + b² = c². Aquí puedes ver qué significa eso: a² es literalmente el área del cuadrado construido sobre el lado a. Arrastra los catetos y observa: los dos cuadrados pequeños juntos siempre tienen exactamente la misma área que el cuadrado sobre la hipotenusa. Cuenta los cuadrados unitarios cuando los catetos son números enteros. Solo funciona con triángulos rectángulos: el ángulo recto es lo que hace que las áreas coincidan.
Things to TryCosas para probar
- Set the legs to 3 and 4 and count the squares: 9 + 16 = 25.
- Make both legs 1. What is the area of the big square? So what is c?
- Try legs 5 and 5, then 1 and 5. Which gives the longer hypotenuse? Why?
- Can you find other whole-number legs where c is also a whole number?
- Pon los catetos en 3 y 4 y cuenta los cuadrados: 9 + 16 = 25.
- Pon los dos catetos en 1. ¿Cuál es el área del cuadrado grande? Entonces, ¿cuánto mide c?
- Prueba catetos de 5 y 5, y luego de 1 y 5. ¿Cuál da la hipotenusa más larga? ¿Por qué?
- ¿Puedes encontrar otros catetos de números enteros con los que c también sea un número entero?
What to noticeQué observar
Two triangles are similar when they have the same shape: the same three angles, with every side of one being the same number of times longer than the matching side of the other. That number is the scale factor. The large triangle here is a copy of the small one, scaled up from the shared corner A. Drag B or C, or change the scale factor: the angles never change, every side ratio is the scale factor, and the area grows by the scale factor squared. This is why sine, cosine, and tangent depend only on the angle: every right triangle with that angle is similar to every other.
Dos triángulos son semejantes cuando tienen la misma forma: los mismos tres ángulos, y cada lado de uno es el mismo número de veces más largo que el lado correspondiente del otro. Ese número es el factor de escala (o razón de semejanza). El triángulo grande es una copia del pequeño, ampliada desde la esquina compartida A. Arrastra B o C, o cambia el factor de escala: los ángulos nunca cambian, cada razón entre lados es el factor de escala, y el área crece según el factor de escala al cuadrado. Por eso el seno, el coseno y la tangente dependen solo del ángulo: todos los triángulos rectángulos con ese ángulo son semejantes entre sí.
Things to TryCosas para probar
- Set the scale factor to 2. Is the big triangle’s area 2 times bigger, or 4 times?
- Change the small triangle’s shape. Do the side ratios stay equal to the scale factor?
- Set the scale factor to 1. What do we call two triangles that are exactly the same?
- Set the scale factor to 0.5. Which triangle is the “original” now? Does it matter?
- Pon el factor de escala en 2. ¿El área del triángulo grande es 2 veces mayor o 4 veces mayor?
- Cambia la forma del triángulo pequeño. ¿Las razones entre lados siguen siendo iguales al factor de escala?
- Pon el factor de escala en 1. ¿Cómo se llaman dos triángulos que son exactamente iguales?
- Pon el factor de escala en 0.5. ¿Cuál es ahora el triángulo «original»? ¿Importa?
What to noticeQué observar
The interior angles of a polygon with n sides always add up to (n − 2) × 180°. One way to see why: draw lines from the center to every corner. That cuts the polygon into n triangles, and each triangle’s angles add up to 180°, so that is n × 180° in all. But the 360° around the center is not part of the polygon’s angles, so take it away: n × 180° − 360° = (n − 2) × 180°. The exterior angles (how far you turn at each corner when you walk around the outside) always add up to 360°, no matter how many sides, because going all the way around is one full turn.
Los ángulos interiores de un polígono de n lados siempre suman (n − 2) × 180°. Una forma de ver por qué: traza líneas del centro a cada esquina. Eso divide el polígono en n triángulos, y los ángulos de cada triángulo suman 180°, así que en total son n × 180°. Pero los 360° alrededor del centro no forman parte de los ángulos del polígono, así que hay que restarlos: n × 180° − 360° = (n − 2) × 180°. Los ángulos exteriores (cuánto giras en cada esquina al caminar alrededor) siempre suman 360°, sin importar cuántos lados haya, porque dar toda la vuelta es un giro completo.
Things to TryCosas para probar
- Add sides one at a time. How much does the angle sum grow each time?
- Click “make it regular”. What is each angle of a regular hexagon? Of an octagon?
- Push one corner in toward the center so the polygon has a dent. What happens to that angle? Does the sum still work?
- Turn on the exterior angles. Do they still add up to 360° with the dent?
- Agrega lados de uno en uno. ¿Cuánto crece la suma de los ángulos cada vez?
- Haz clic en «hacerlo regular». ¿Cuánto mide cada ángulo de un hexágono regular? ¿Y de un octágono?
- Empuja una esquina hacia el centro para que el polígono tenga una hendidura. ¿Qué pasa con ese ángulo? ¿La suma sigue funcionando?
- Activa los ángulos exteriores. ¿Siguen sumando 360° con la hendidura?
What to noticeQué observar
Perimeter is the distance around the outside: add up the sides. Area is the space inside: count the unit squares. They do not change together. Double the width and the height and the perimeter doubles, but the area is four times bigger. Keep the perimeter the same and change the shape: a long thin rectangle has almost no area, and the square has the most. Keep the area the same instead, and the square has the shortest perimeter.
El perímetro es la distancia alrededor del borde: suma los lados. El área es el espacio de adentro: cuenta los cuadrados unitarios. No cambian juntos. Duplica el ancho y el alto y el perímetro se duplica, pero el área se hace cuatro veces más grande. Mantén el perímetro y cambia la forma: un rectángulo largo y delgado casi no tiene área, y el cuadrado es el que tiene más. Mantén el área, y el cuadrado es el que tiene el perímetro más corto.
Things to TryCosas para probar
- Start with 6 × 4. Then make it 12 × 8. How did the perimeter change? And the area?
- Choose “keep the perimeter the same”. What shape gives the biggest area? Is it the one you expected?
- Choose “keep the area the same”. What shape has the shortest perimeter?
- Make a rectangle with a perimeter of 20 and an area under 10. Now one with a perimeter of 20 and an area over 20.
- Empieza con 6 × 4. Luego hazlo de 12 × 8. ¿Cómo cambió el perímetro? ¿Y el área?
- Elige «mantener el perímetro». ¿Qué forma da la mayor área? ¿Es la que esperabas?
- Elige «mantener el área». ¿Qué forma tiene el perímetro más corto?
- Haz un rectángulo con perímetro 20 y área menor que 10. Ahora uno con perímetro 20 y área mayor que 20.
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